3ᵉ · Mathématiques · Grandeurs et mesures
Le volume mesure la place occupée dans l'espace (cm³, m³…). Voici les formules à connaître en 3ᵉ :
Pour un prisme comme pour un cylindre, l'idée est la même : on calcule l'aire de la base, puis on la multiplie par la hauteur. Pour le cylindre, la base est un disque, donc l'aire de base vaut π × r².
La pyramide et le cône suivent la même formule : on prend l'aire de base multipliée par la hauteur, puis on divise par 3.
Pour un cône, l'aire de base est un disque : V = (π × r² × h) / 3.
La boule a sa propre formule :
Retiens : une pyramide (ou un cône) tient exactement trois fois dans le prisme (ou cylindre) de même base et même hauteur — d'où la division par 3.
Agrandir ou réduire une figure d'un rapport k, c'est multiplier toutes ses longueurs par k. Si k > 1 c'est un agrandissement ; si 0 < k < 1 c'est une réduction. Deux solides liés par un tel rapport sont dits semblables.
Ce qui change selon la grandeur mesurée :
Par exemple, si on double toutes les longueurs (k = 2), les aires sont multipliées par 4 (2²) et les volumes par 8 (2³). C'est pour ça qu'une maquette au 1/100 d'un immeuble pèse bien moins que le centième de l'immeuble réel : son volume est divisé par 100³, c'est-à-dire par un million.
Avant les formules, voyons à quoi tout ça sert. Une usine qui fabrique une boîte de conserve cylindrique calcule son volume pour savoir combien de grammes de petits pois elle contient, et un fabricant de cornets de glace calcule le volume du cône. Quand on remplit un réservoir d'eau ou une cuve à mazout, on calcule son volume pour connaître le nombre de litres.
Et les architectes construisent des maquettes : une maquette au centième d'un immeuble a toutes ses longueurs cent fois plus petites, mais son volume, lui, est un million de fois plus petit, car il est réduit d'un rapport cent au cube. C'est exactement pour ça qu'un petit animal peut sauter plusieurs fois sa taille alors qu'un éléphant ne le pourrait jamais : quand on agrandit un être vivant, son volume, donc sa masse, grandit beaucoup plus vite que ses longueurs. Volumes et agrandissements sont partout : emballages, réservoirs, maquettes, et même en biologie.
Reprenons les volumes déjà connus. Pour un pavé droit, comme une boîte, on multiplie sa longueur, sa largeur et sa hauteur : trois mesures multipliées entre elles. Pour un prisme droit, on calcule d'abord l'aire de sa base, puis on la multiplie par la hauteur.
Imagine des couches identiques empilées : chaque couche a l'aire de la base, et il y en a autant que la hauteur. Le cylindre suit exactement le même principe, mais sa base est un disque : son aire vaut pi fois le rayon au carré, avec pi environ égal à trois virgule quatorze. Le volume du cylindre vaut donc pi fois le rayon au carré fois la hauteur.
Retiens la grande règle des prismes et cylindres : aire de la base, multipliée par la hauteur.
Voici deux solides pointus : la pyramide et le cône. Ils partagent la même formule, avec un ingrédient nouveau : la division par trois. On calcule l'aire de la base, on la multiplie par la hauteur, puis on divise le tout par trois.
Pourquoi trois ? Parce qu'une pyramide tient exactement trois fois dans le prisme de même base et de même hauteur ; c'est pareil pour le cône dans son cylindre. Pour un cône, la base est un disque, donc son aire vaut pi fois le rayon au carré ; le volume du cône vaut alors pi fois le rayon au carré fois la hauteur, le tout divisé par trois.
L'erreur classique, c'est d'oublier ce division par trois et de trouver un volume trois fois trop grand. Retiens : pyramide et cône, aire de base fois hauteur, divisé par trois.
Passons à la boule, comme un ballon ou une bille. Sa formule est particulière et vaut la peine d'être mémorisée : le volume d'une boule est égal à quatre tiers, multiplié par pi, multiplié par le rayon au cube. Attention, ici le rayon est élevé au cube, à la puissance trois, et non au carré : on multiplie le rayon par lui-même trois fois.
Comme il y a la fraction quatre tiers, le résultat tombe rarement rond ; on donne alors souvent une valeur approchée. Par exemple, une boule de rayon trois centimètres a un volume d'environ cent treize centimètres cubes. Retiens bien la structure : quatre tiers, pi, et rayon au cube.
Terminons par le cœur du chapitre. Agrandir ou réduire une figure d'un rapport k, c'est multiplier toutes ses longueurs par k. Si k est plus grand que un, c'est un agrandissement ; s'il est entre zéro et un, c'est une réduction.
La grande idée, c'est que les longueurs, les aires et les volumes ne réagissent pas de la même façon. Les longueurs sont multipliées par k. Les aires, elles, sont multipliées par k au carré, car une aire, c'est deux longueurs.
Et les volumes sont multipliés par k au cube, car un volume, c'est trois longueurs. Exemple : si on double toutes les longueurs, donc k égal deux, les aires sont multipliées par quatre et les volumes par huit. C'est spectaculaire pour les volumes : une maquette au centième a un volume un million de fois plus petit que l'original.
Retiens le trio : longueurs fois k, aires fois k au carré, volumes fois k au cube.
12 des 33 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.