3ᵉ · Mathématiques · Nombres et calculs
On dit que b est un diviseur de a (ou que a est un multiple de b) lorsque la division de a par b tombe juste, c'est-à-dire quand le reste de la division euclidienne est 0. Exemple : 3 est un diviseur de 12 car 12 = 3 × 4 ; on dit aussi que 12 est un multiple de 3. Un diviseur ne peut jamais être 0.
Ces critères permettent de repérer les diviseurs sans poser la division :
• par 2 : le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombre pair) ;
• par 3 : la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ;
• par 5 : il se termine par 0 ou 5 ;
• par 9 : la somme de ses chiffres est un multiple de 9 ;
• par 10 : il se termine par 0.
Exemple : 342 est divisible par 3 car 3 + 4 + 2 = 9, et 9 est un multiple de 3.
Un nombre premier est un entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… Attention : 1 n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur), et 2 est le seul nombre premier pair.
Tout entier supérieur à 1 s'écrit d'une seule façon comme un produit de nombres premiers. Pour la trouver, on divise successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7… : c'est l'arbre de décomposition. Exemple : 60 = 2 × 2 × 3 × 5, que l'on écrit aussi 2² × 3 × 5.
Le PGCD de deux entiers est leur Plus Grand Diviseur Commun, le plus grand nombre qui divise les deux à la fois. On peut le trouver en décomposant les deux nombres et en gardant les facteurs premiers communs. Exemple : PGCD(60 ; 36) : 60 = 2² × 3 × 5 et 36 = 2² × 3², les facteurs communs sont 2² × 3 = 12, donc PGCD(60 ; 36) = 12.
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire quand le PGCD de son numérateur et de son dénominateur vaut 1. Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Exemple : 60/36 : on divise haut et bas par 12, ce qui donne 5/3, fraction irréductible.
Avant la leçon, voyons à quoi sert l'arithmétique. D'abord la cryptographie : quand tu payes en ligne ou envoies un message sécurisé, ton téléphone multiplie deux très grands nombres premiers. Le résultat est facile à calculer, mais retrouver les deux nombres premiers de départ est presque impossible, même pour un ordinateur : c'est ce qui protège tes données.
Ensuite les partages équitables : pour répartir 60 bonbons et 36 chocolats dans le plus grand nombre possible de sachets identiques, on cherche le PGCD de 60 et 36, qui vaut 12 ; on peut donc faire 12 sachets. Enfin les simplifications : rendre une fraction irréductible, comme transformer 60 sur 36 en 5 sur 3, sert dès qu'on calcule des proportions, des recettes ou des probabilités. Les diviseurs et les nombres premiers sont partout : ils sont les briques de tous les nombres entiers.
Commençons par le vocabulaire. On dit que b est un diviseur de a lorsque la division de a par b tombe juste, autrement dit quand le reste de la division euclidienne est zéro. Par exemple 3 est un diviseur de 12, car 12 égale 3 fois 4 ; on dit aussi que 12 est un multiple de 3.
Pour repérer rapidement certains diviseurs, on utilise les critères de divisibilité. Un nombre est divisible par 2 s'il est pair, c'est-à-dire s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. Il est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5.
Il est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3, et par 9 si cette somme est un multiple de 9. Par exemple 342 : la somme des chiffres, 3 plus 4 plus 2, fait 9, un multiple de 3, donc 342 est divisible par 3.
Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple 7 est premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 7. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, et ainsi de suite.
Fais attention à deux pièges. D'abord, 1 n'est pas un nombre premier : il n'a qu'un seul diviseur, lui-même, alors qu'il en faut deux. Ensuite, 2 est le seul nombre premier pair : tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2, donc ils ont au moins trois diviseurs.
Pour savoir si un nombre est premier, on teste s'il est divisible par les petits nombres premiers 2, 3, 5, 7 ; s'il ne l'est par aucun, il est premier.
Tout nombre entier plus grand que 1 s'écrit d'une seule façon comme un produit de nombres premiers : c'est sa décomposition. Pour la trouver, on divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le résultat, jusqu'à arriver à 1. Prenons 60.
Il est pair, donc je divise par 2 : 60 égale 2 fois 30. Trente est encore pair : 30 égale 2 fois 15. Quinze n'est plus pair, mais 1 plus 5 fait 6, multiple de 3, donc je divise par 3 : 15 égale 3 fois 5.
Enfin 5 est premier. Au total, 60 égale 2 fois 2 fois 3 fois 5, que l'on écrit 2 au carré fois 3 fois 5. Cet arbre de décomposition est la carte d'identité du nombre.
Le PGCD de deux nombres est leur Plus Grand Diviseur Commun : le plus grand nombre qui les divise tous les deux. Une méthode consiste à décomposer les deux nombres, puis à garder les facteurs premiers qu'ils ont en commun. Prenons 60 et 36.
Soixante égale 2 au carré fois 3 fois 5, et 36 égale 2 au carré fois 3 au carré. Les facteurs communs sont 2 au carré et 3, donc le PGCD vaut 4 fois 3, soit 12. Ce PGCD sert directement à simplifier les fractions.
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1. Pour rendre 60 sur 36 irréductible, je divise le haut et le bas par leur PGCD, 12 : cela donne 5 sur 3. Comme le PGCD de 5 et 3 vaut 1, la fraction 5 sur 3 est bien irréductible.
12 des 32 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.