3ᵉ · Mathématiques · Nombres et calculs
Pour développer un produit de deux parenthèses, on multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la seconde :
On obtient quatre produits, puis on réduit. Exemple : (x + 3)(x + 2) = x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6. Attention aux signes quand un terme est négatif : (x − 4)(x + 1) = x² + x − 4x − 4 = x² − 3x − 4.
Ce sont trois développements que l'on retient par cœur pour aller plus vite :
Le piège n°1 : (a + b)² n'est PAS a² + b². Il manque le double produit 2ab. Exemple : (x + 5)² = x² + 10x + 25.
Une équation du type ax + b = cx + d se résout en isolant x. On rassemble les termes en x d'un côté, les nombres de l'autre :
Règle d'or : quand un terme change de membre, il change de signe. On termine en divisant par le coefficient devant x.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
Exemple : (x − 3)(x + 5) = 0 donne x − 3 = 0 ou x + 5 = 0, soit x = 3 ou x = −5. Une équation-produit a donc en général deux solutions.
Pour résoudre un problème avec une inconnue : on choisit l'inconnue (on l'appelle x), on traduit l'énoncé par une équation, on la résout, puis on vérifie que la solution répond bien à la question posée.
Avant la leçon, voyons à quoi servent les équations. Imagine que tu connais le résultat d'une situation, mais pas la valeur de départ. Un objet coûte un certain prix, on te dit qu'avec les taxes tu paies 48 euros, quel était le prix hors taxe ?
Un rectangle a un périmètre connu, quelle est sa largeur ? Un abonnement à 15 euros plus 2 euros par séance : à partir de combien de séances devient-il plus intéressant qu'un autre ? À chaque fois, on appelle x la quantité cherchée, on traduit la phrase en une égalité, et on résout l'équation pour trouver x.
Le calcul littéral fabrique ces formules, et les équations les résolvent. C'est l'outil universel pour trouver un nombre inconnu à partir de ce qu'on sait de lui.
Pour développer un produit de deux parenthèses, il faut multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde. Prenons a plus b, le tout multiplié par c plus d. Le a multiplie le c, puis le a multiplie le d, ensuite le b multiplie le c, et enfin le b multiplie le d.
On obtient quatre produits : a c, plus a d, plus b c, plus b d. Une image utile : chaque terme de gauche va serrer la main de chaque terme de droite, sans en oublier aucun. Ensuite, on réduit les termes qui se ressemblent.
Le grand piège, c'est de n'écrire que deux produits au lieu de quatre, ou de se tromper de signe quand un terme est négatif.
Certains développements reviennent si souvent qu'on les apprend par cœur : ce sont les identités remarquables. La première : a plus b, au carré, égale a au carré, plus deux fois a b, plus b au carré. La deuxième, avec un moins : a moins b, au carré, égale a au carré, moins deux fois a b, plus b au carré.
Et la troisième : a plus b multiplié par a moins b, égale a au carré moins b au carré. Retiens surtout le piège de l'année : a plus b au carré n'est pas égal à a au carré plus b au carré. Il manque le double produit, ce fameux deux a b du milieu.
Ces identités permettent de développer, mais aussi, en sens inverse, de factoriser une expression.
Résoudre une équation du premier degré, c'est trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie. Imagine une balance en équilibre : le membre de gauche pèse autant que le membre de droite. Tout ce que je fais d'un côté, je dois le faire de l'autre pour garder l'équilibre.
La méthode : je rassemble tous les termes contenant x d'un même côté, et tous les nombres seuls de l'autre côté. Souviens-toi de la règle d'or : quand un terme change de membre, il change de signe. Une fois que j'ai la forme un certain nombre fois x égale un nombre, je divise par le coefficient devant x.
J'obtiens la solution, et je peux la vérifier en la remplaçant dans l'équation de départ.
Voici une règle qui semble évidente mais qui est très puissante : un produit de deux facteurs est égal à zéro si, et seulement si, l'un au moins des deux facteurs est nul. Autrement dit, pour multiplier et tomber sur zéro, il faut forcément qu'un des morceaux soit lui-même zéro. Donc, face à une équation-produit comme la parenthèse x moins trois, multipliée par la parenthèse x plus cinq, égale zéro, on coupe le problème en deux : soit x moins trois égale zéro, ce qui donne x égale trois, soit x plus cinq égale zéro, ce qui donne x égale moins cinq.
Une équation-produit possède ainsi le plus souvent deux solutions. Attention à bien changer le signe en isolant x dans chaque facteur.
12 des 32 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.