3ᵉ · Mathématiques · Organisation et gestion de données
Une fonction f est une machine qui, à un nombre x, associe un seul nombre noté f(x). On lit « f de x ». Le nombre f(x) obtenu s'appelle l'image de x par f. À l'inverse, si on connaît un résultat y, un nombre x tel que f(x) = y est appelé un antécédent de y.
Attention à ne pas confondre : l'image, c'est ce qui SORT de la machine ; l'antécédent, c'est ce qui ENTRE dedans.
Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax, où a est un nombre fixé appelé coefficient. Elle traduit exactement une situation de proportionnalité : a est le coefficient de proportionnalité. On retrouve le coefficient en divisant une image par son antécédent :
Exemple : si 3 kg de pommes coûtent 6 €, le prix est linéaire de coefficient a = 6 / 3 = 2, donc f(x) = 2x.
Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b. Le nombre a est le coefficient directeur, le nombre b est l'ordonnée à l'origine (la valeur de f(0)). Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine, celui où b = 0.
La représentation graphique d'une fonction affine f(x) = ax + b est une droite. Le coefficient a indique la « pente » : quand on avance de 1 vers la droite, on monte de a. Le nombre b indique où la droite coupe l'axe des ordonnées (au point de coordonnées (0 ; b)).
Pour une fonction linéaire f(x) = ax, la droite passe toujours par l'origine (0 ; 0).
Si on connaît deux images d'une fonction affine, on peut retrouver a et b. Le coefficient directeur se calcule avec :
Puis on trouve b en remplaçant x par l'une des valeurs dans f(x) = ax + b.
Avant la leçon, voyons à quoi servent ces fonctions. Un abonnement de téléphone coûte souvent une partie fixe chaque mois, plus un tarif par gigaoctet consommé : le prix total suit une fonction affine, une partie constante plus une partie proportionnelle. Un plein d'essence, lui, ne coûte que du proportionnel : le prix est le nombre de litres multiplié par le prix au litre, c'est une fonction linéaire.
Ces fonctions servent à prévoir : combien coûtera un abonnement pour vingt gigaoctets, quelle sera la facture pour un long trajet. Sur un graphique, les deux se dessinent par une droite. La droite qui passe par l'origine, c'est le linéaire, la proportionnalité pure ; la droite décalée vers le haut ou le bas, c'est l'affine, avec sa partie fixe.
Une fonction est une machine à un seul résultat. On lui donne un nombre x en entrée, elle rend un seul nombre f(x) en sortie. Ce nombre de sortie s'appelle l'image de x.
Par exemple, si f de trois vaut sept, alors sept est l'image de trois. Le chemin inverse porte un autre nom : si on cherche quel nombre entrant donne une sortie précise, ce nombre entrant s'appelle un antécédent. Retiens bien le sens : l'image sort de la machine, l'antécédent entre dedans.
Beaucoup d'erreurs viennent d'une confusion entre ces deux mots, alors garde en tête l'image du tapis roulant : on met x, il ressort f de x.
Une fonction linéaire s'écrit f de x égale a fois x. Le nombre a est fixé, on l'appelle le coefficient. Cette fonction est le visage caché de la proportionnalité : multiplier par a, c'est exactement passer par un tableau de proportionnalité de coefficient a.
Pour retrouver ce coefficient, on divise une image par son antécédent : a égale f de x divisé par x. Par exemple, si trois kilos de pommes coûtent six euros, le coefficient vaut six divisé par trois, c'est-à-dire deux. La fonction est donc f de x égale deux x, et chaque kilo coûte deux euros.
Sur un graphique, la fonction linéaire se dessine par une droite qui passe toujours par l'origine, le point zéro-zéro.
Une fonction affine s'écrit f de x égale a x plus b. Le nombre a s'appelle le coefficient directeur : il donne la pente de la droite. Concrètement, quand on avance de un vers la droite, la droite monte de a.
Le nombre b s'appelle l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de la fonction quand x vaut zéro, autrement dit l'endroit où la droite coupe l'axe vertical. La fonction linéaire n'est qu'un cas particulier de l'affine, celui où b vaut zéro : sa droite passe alors par l'origine. Dès que b n'est pas nul, la droite est décalée vers le haut si b est positif, vers le bas si b est négatif.
Parfois on ne connaît pas la fonction, mais on connaît deux résultats. Par exemple, on sait que f de deux vaut cinq et f de quatre vaut neuf, et on cherche la fonction affine. On commence par le coefficient directeur a : il se calcule comme la différence des images divisée par la différence des antécédents.
Ici, neuf moins cinq font quatre, quatre moins deux font deux, donc a égale quatre divisé par deux, c'est-à-dire deux. Ensuite on trouve b en remplaçant : f de deux égale deux fois deux plus b, soit quatre plus b, et cela vaut cinq, donc b égale un. La fonction cherchée est f de x égale deux x plus un.
Deux valeurs suffisent, car deux points définissent une seule droite.
12 des 32 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.