3ᵉ · Mathématiques · Espace et géométrie
On utilise le théorème de Thalès dans une figure bien précise. On a deux droites qui se croisent en un point (souvent appelé A), et deux droites parallèles qui coupent ces deux premières droites. On obtient alors deux triangles emboîtés qui partagent le même sommet A : un petit triangle et un grand triangle qui ont la même forme.
Soit deux droites (BM) et (CN) sécantes en A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors les longueurs des côtés des deux triangles sont proportionnelles :
On dit que ces trois rapports sont égaux. Pour bien écrire l'égalité, on range en haut le petit triangle et en bas le grand triangle (ou l'inverse), mais toujours dans le même ordre.
Quand une longueur est inconnue, on écrit l'égalité des deux rapports qui contiennent cette longueur, puis on utilise le produit en croix. Si AB/AM = AC/AN, alors AB × AN = AC × AM. On isole la longueur cherchée en divisant.
La réciproque sert à prouver que deux droites sont parallèles. Si les points A, B, M sont alignés et A, C, N alignés (dans le même ordre), et si l'on vérifie que AB / AM = AC / AN, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. On calcule les deux rapports séparément : s'ils sont égaux, c'est parallèle ; s'ils sont différents, ce n'est pas parallèle.
Quand on multiplie toutes les longueurs d'une figure par un même nombre k, on obtient un agrandissement si k > 1, une réduction si k < 1. Ce nombre k est le coefficient d'agrandissement : on le trouve en divisant une longueur agrandie par la longueur d'origine correspondante (k = grande longueur / petite longueur). Le théorème de Thalès traduit exactement ce lien : le grand triangle est un agrandissement du petit.
Avant la théorie, regardons à quoi sert Thalès. Son grand pouvoir, c'est de mesurer ce qu'on ne peut pas atteindre. Pour connaître la hauteur d'un arbre ou d'un immeuble sans y grimper, on plante un piquet à côté, on mesure l'ombre du piquet et l'ombre de l'arbre au même moment : comme les rayons du soleil sont parallèles, les deux triangles ont la même forme, et un simple produit en croix donne la hauteur.
C'est exactement ce que fit Thalès de Milet pour mesurer la grande pyramide d'Égypte. On s'en sert aussi pour les maquettes et les plans à l'échelle : une maquette d'immeuble ou une carte, c'est une réduction où toutes les longueurs sont multipliées par le même coefficient. Bref, dès qu'une figure est l'agrandissement ou la réduction d'une autre, Thalès est là.
Tout commence par bien repérer la figure. Il faut d'abord deux droites qui se croisent en un même point, appelons-le A. Puis deux droites parallèles qui viennent couper ces deux premières droites.
On voit alors apparaître deux triangles qui partagent le sommet A : un petit triangle, tout près de A, et un grand triangle, plus loin. Ces deux triangles ont exactement la même forme, l'un est l'agrandissement de l'autre. C'est cette configuration, et seulement elle, qui permet d'appliquer le théorème.
Le mot-clé à chercher dans l'énoncé, c'est toujours : quelles droites sont parallèles ?
Voici le cœur du chapitre. Quand les droites BC et MN sont parallèles, le théorème de Thalès affirme que les longueurs des deux triangles sont proportionnelles. Autrement dit, trois rapports sont égaux : AB divisé par AM, égale AC divisé par AN, égale BC divisé par MN.
À chaque fois, on met en haut une longueur du petit triangle et en dessous la longueur correspondante du grand triangle. L'idée profonde, c'est que le grand triangle est simplement le petit triangle agrandi : toutes les longueurs ont été multipliées par le même coefficient. C'est pour cela que tous les rapports donnent le même nombre.
Le théorème sert surtout à calculer une longueur qu'on ne connaît pas. La méthode est toujours la même. On écrit d'abord l'égalité des deux rapports qui contiennent la longueur cherchée, par exemple AB divisé par AM égale AC divisé par AN.
Ensuite, on utilise le produit en croix : le produit des extrêmes égale le produit des moyens. Enfin, on isole la longueur inconnue en divisant. Concrètement, si on cherche AC, on obtient AC égale AB fois AN, divisé par AM.
On remplace par les nombres, on calcule, et on n'oublie pas l'unité. Le produit en croix, c'est l'outil roi de ce chapitre.
Thalès permet aussi de faire l'inverse : à partir des longueurs, décider si deux droites sont parallèles. On appelle ça la réciproque. La méthode est en trois temps.
D'abord on vérifie que les points sont bien alignés dans le même ordre à partir du sommet A. Ensuite, on calcule séparément les deux rapports, AB sur AM d'un côté, AC sur AN de l'autre. Enfin, on compare.
Si les deux rapports sont égaux, alors les droites BC et MN sont parallèles. S'ils sont différents, elles ne le sont pas. Attention à ne pas confondre : pour calculer une longueur, on sait déjà que c'est parallèle ; pour la réciproque, c'est justement le parallélisme qu'on cherche à prouver.
12 des 31 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.