3ᵉ · Mathématiques · Organisation et gestion de données
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat : lancer un dé, tirer une boule. Chaque résultat possible est une issue, un événement est un ensemble d'issues. Quand toutes les issues ont la même chance (équiprobabilité), la probabilité d'un événement vaut :
Une probabilité est toujours un nombre entre 0 et 1 : 0 = impossible, 1 = certain. Exemple : avec un dé, obtenir un nombre pair (2, 4, 6) vaut 3 ÷ 6 = 0,5.
L'événement contraire d'un événement A, c'est « A ne se produit pas ». Comme l'un des deux se réalise forcément, leurs probabilités s'additionnent pour faire 1 :
Exemple : si P(gagner) = 0,3, alors P(ne pas gagner) = 1 − 0,3 = 0,7.
Quand une expérience se déroule en deux épreuves (par exemple deux tirages), on représente toutes les possibilités par un arbre pondéré à deux niveaux : sur chaque branche on écrit la probabilité correspondante. Depuis chaque branche du premier niveau repartent les branches du second niveau.
Un chemin va du départ jusqu'à un bout de l'arbre. Sa probabilité s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long des branches.
Exemple : si à chaque tirage P(rouge) = 0,5, alors tirer deux rouges de suite vaut 0,5 × 0,5 = 0,25.
Deux événements sont incompatibles quand ils ne peuvent pas se produire en même temps (aucune issue commune). Pour obtenir la probabilité que l'un OU l'autre se réalise, on additionne leurs probabilités :
Exemple : avec un dé, P(obtenir 1) = 1/6 et P(obtenir 2) = 1/6 ; ces événements sont incompatibles donc P(1 ou 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6.
Avant la théorie, voyons à quoi servent les probabilités. Partout où l'avenir est incertain, elles mesurent les chances. Dans les jeux, tu lances un dé ou tu tires une carte sans savoir ce qui va tomber : la probabilité te dit quelle chance tu as d'obtenir un six.
En génétique, quand deux parents transmettent un gène, un arbre permet de calculer la probabilité que l'enfant ait tel caractère, les yeux bleus par exemple. Les assurances, elles, en vivent : pour fixer le prix d'un contrat, elles estiment la probabilité qu'un accident arrive, puis calculent ce qu'elles risquent de payer. Et les sondages annoncent un pourcentage d'intentions de vote avec une marge d'erreur, calculée elle aussi avec les probabilités.
Regarde l'animation : un arbre pondéré à deux niveaux, celui qu'on utilise pour les expériences à deux épreuves. À chaque branche sa probabilité ; le long d'un chemin on multiplie. Voilà l'image à garder en tête.
Rappelons la base. Quand toutes les issues d'une expérience ont la même chance, on dit qu'il y a équiprobabilité, et la probabilité d'un événement se calcule très simplement : on compte les cas favorables, ceux qui réalisent l'événement, et on divise par le nombre total de cas possibles. Avec un dé à six faces, obtenir un nombre pair : trois cas favorables, deux, quatre et six, sur six cas possibles, soit trois sixièmes, égal zéro virgule cinq.
Une probabilité est toujours comprise entre zéro et un. Zéro veut dire impossible, un veut dire certain, et zéro virgule cinq veut dire une chance sur deux. Si tu trouves un nombre plus grand que un, c'est que tu as inversé la division : favorables au-dessus, possibles en dessous.
L'événement contraire d'un événement, c'est simplement « il ne se produit pas ». Quand on tire une boule, soit elle est rouge, soit elle n'est pas rouge : l'un des deux arrive forcément. Comme il est certain que l'un ou l'autre se réalise, la somme de leurs deux probabilités vaut toujours un.
Du coup, pour trouver la probabilité du contraire, on soustrait à un la probabilité de l'événement. Si la probabilité de gagner est zéro virgule trois, alors la probabilité de ne pas gagner est un moins zéro virgule trois, égal zéro virgule sept. C'est souvent le chemin le plus rapide : au lieu de compter directement, on compte le contraire et on fait un moins.
Attention, on soustrait à un, pas à cent : une probabilité n'est pas un pourcentage.
Quand une expérience se déroule en deux étapes, par exemple deux tirages à la suite, on dessine un arbre pondéré à deux niveaux. Du point de départ partent les branches du premier tirage ; puis de chaque branche repartent les branches du second tirage. Sur chaque branche, on écrit sa probabilité.
Chaque chemin complet, du départ jusqu'au bout, représente un résultat possible de l'expérience. Pour trouver la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités écrites le long des branches. Par exemple, si au premier tirage la probabilité d'une boule rouge est zéro virgule six, et au second zéro virgule cinq, alors le chemin rouge puis rouge vaut zéro virgule six multiplié par zéro virgule cinq, égal zéro virgule trois.
Multiplier le long des branches : voilà la règle de l'arbre pondéré.
Voici la nouveauté de troisième. Deux événements sont dits incompatibles quand ils ne peuvent pas se produire en même temps : ils n'ont aucune issue commune. Avec un dé, obtenir un et obtenir deux sont incompatibles, car le dé ne peut pas afficher un et deux à la fois.
Quand deux événements sont incompatibles, la probabilité que l'un OU l'autre se réalise s'obtient en additionnant leurs probabilités. La probabilité d'obtenir un est un sixième, celle d'obtenir deux est un sixième, donc la probabilité d'obtenir un ou deux vaut un sixième plus un sixième, égal deux sixièmes. Retiens bien la différence avec l'arbre : le long d'un chemin, à la suite, on multiplie ; mais pour réunir plusieurs événements incompatibles, ce OU, on additionne.
12 des 32 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.