4ᵉ · Mathématiques · Espace et géométrie
Dans un triangle rectangle, le côté le plus long, celui qui est en face de l'angle droit, s'appelle l'hypoténuse. Les deux autres côtés forment l'angle droit.
On se place ensuite par rapport à un angle aigu (pas l'angle droit). Vu de cet angle :
• le côté adjacent est celui qui touche l'angle (il forme un côté de l'angle, sans être l'hypoténuse) ;
• le côté opposé est celui qui est en face de l'angle, qui ne le touche pas.
Attention : adjacent et opposé changent selon l'angle aigu qu'on regarde. L'hypoténuse, elle, ne change jamais.
Pour un angle aigu d'un triangle rectangle, le cosinus est le rapport (la division) :
Une phrase pour retenir : « CAH » — Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse. Comme l'adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse, le cosinus est toujours compris entre 0 et 1.
Si on connaît l'angle et l'hypoténuse, on obtient le côté adjacent en « remontant » la formule :
On tape le cosinus de l'angle à la calculatrice (mode degrés), puis on multiplie par l'hypoténuse.
Si on connaît l'adjacent et l'hypoténuse, on connaît le cosinus de l'angle. Pour remonter à l'angle lui-même, on utilise la touche cos⁻¹ de la calculatrice (souvent écrite Acos ou obtenue avec Shift + cos).
Exemple : si cos(angle) = 0,6, on tape cos⁻¹(0,6) et la calculatrice affiche ≈ 53° : c'est la mesure de l'angle. La touche cos⁻¹ fait l'opération inverse du cosinus : de l'angle vers le rapport avec cos, du rapport vers l'angle avec cos⁻¹.
Avant les formules, regardons à quoi sert le cosinus dans la vraie vie. Partout où il y a une pente, il y a un triangle rectangle caché. Une rampe d'accès pour fauteuil roulant doit respecter un angle très précis, sinon elle est trop raide : le cosinus permet de calculer sa longueur au sol.
Un couvreur qui pose un toit connaît l'angle de la pente et veut savoir la longueur des chevrons : encore un triangle rectangle. En randonnée, sur une route de montagne, un panneau annonce dix pour cent de pente, c'est encore une histoire d'angle et de côtés. Et en navigation, quand un bateau vise un cap, on décompose sa route en un déplacement horizontal grâce au cosinus.
Bref, dès qu'on mélange un angle et des longueurs dans un coin droit, le cosinus est l'outil qui relie les deux.
Tout commence par bien nommer les côtés. Le plus long, celui qui est en face de l'angle droit, c'est l'hypoténuse : elle ne bouge jamais. Ensuite on choisit un angle aigu, celui dont on parle.
Le côté qui touche cet angle, sans être l'hypoténuse, c'est le côté adjacent : adjacent veut dire à côté, collé. Le côté d'en face, celui qu'on atteint en traversant le triangle, c'est le côté opposé. Le piège classique, c'est de croire que l'adjacent est toujours le même côté.
Non : si tu changes d'angle aigu, l'adjacent et l'opposé s'échangent. Seule l'hypoténuse reste fixe.
Voici le cœur du chapitre. Le cosinus d'un angle aigu est une division : le côté adjacent divisé par l'hypoténuse. Pour ne jamais l'oublier, retiens le mot CAH : C comme cosinus, A comme adjacent, H comme hypoténuse, dans cet ordre.
Comme l'hypoténuse est toujours le plus long côté, le résultat de cette division est toujours un nombre entre zéro et un. Un petit exemple : dans un triangle rectangle où l'adjacent mesure six et l'hypoténuse dix, le cosinus vaut six divisé par dix, c'est-à-dire zéro virgule six. Ce nombre décrit l'ouverture de l'angle, sans même sortir le rapporteur.
Le cosinus ne sert pas qu'à décrire un angle : il permet de calculer une longueur qu'on ne peut pas mesurer directement. Imagine qu'on connaisse l'angle et l'hypoténuse, et qu'on cherche le côté adjacent. On part de la définition, cosinus égale adjacent sur hypoténuse, et on la retourne : le côté adjacent est égal à l'hypoténuse multipliée par le cosinus de l'angle.
En pratique, on tape le cosinus de l'angle à la calculatrice, bien réglée en degrés, puis on multiplie par la longueur de l'hypoténuse. Par exemple avec un cosinus de zéro virgule huit et une hypoténuse de quinze, l'adjacent mesure quinze fois zéro virgule huit, soit douze.
Dernier cas : on connaît deux côtés, l'adjacent et l'hypoténuse, et on veut retrouver la mesure de l'angle. On calcule d'abord le cosinus, c'est-à-dire adjacent sur hypoténuse. On obtient un nombre entre zéro et un, par exemple zéro virgule six.
Mais ce n'est pas encore l'angle : c'est seulement son cosinus. Pour passer du nombre à l'angle, on utilise une touche spéciale de la calculatrice, notée cos moins un, qu'on obtient souvent avec Shift puis cosinus. On tape cos moins un de zéro virgule six, et la calculatrice affiche environ cinquante-trois degrés.
Cette touche fait exactement l'opération inverse du cosinus : le cosinus va de l'angle vers le nombre, cos moins un va du nombre vers l'angle.
12 des 32 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.