4ᵉ · Mathématiques · Espace et géométrie
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°). Le côté situé en face de l'angle droit s'appelle l'hypoténuse : c'est toujours le plus long côté du triangle. Les deux autres côtés, ceux qui forment l'angle droit, sont les côtés de l'angle droit.
Si un triangle ABC est rectangle en A (l'angle droit est en A), alors :
Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ici BC est l'hypoténuse (en face de A), donc c'est BC qu'on met au carré tout seul d'un côté du signe égal.
• Pour trouver l'hypoténuse : on additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit, puis on prend la racine carrée.
• Pour trouver un côté de l'angle droit : on soustrait son carré à celui de l'hypoténuse, puis on prend la racine carrée.
La racine carrée d'un nombre positif, notée √, est le nombre positif qui, mis au carré, redonne ce nombre. Par exemple √25 = 5 car 5² = 25, et √144 = 12 car 12² = 144. Sur la calculatrice, on utilise la touche √.
Pour prouver qu'un triangle est rectangle, on utilise la réciproque du théorème :
1. On calcule séparément le carré du plus grand côté.
2. On calcule la somme des carrés des deux autres côtés.
3. Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle (l'angle droit est en face du plus grand côté). S'ils sont différents, le triangle n'est pas rectangle.
Avant la théorie, regardons à quoi sert Pythagore. Sur un chantier, le maçon veut être sûr qu'un mur forme un angle bien droit avec le sol : il mesure trois, quatre, puis vérifie que la diagonale fait bien cinq, et l'angle est parfaitement droit. C'est l'astuce du triangle 3-4-5, connue depuis l'Égypte ancienne.
En navigation et sur les cartes, dès qu'on veut la distance directe à vol d'oiseau entre deux points, on fait un triangle rectangle et on applique Pythagore. Sur les écrans, la taille annoncée d'un téléviseur, par exemple 55 pouces, c'est la diagonale de l'écran, calculée par Pythagore à partir de la largeur et de la hauteur. Bref, dès qu'il y a un angle droit et qu'on cherche une longueur, ce théorème est là.
Tout commence par bien repérer les côtés. Dans un triangle rectangle, il y a d'abord l'angle droit, celui qu'on marque avec un petit carré. Le côté qui se trouve juste en face de cet angle droit, sans le toucher, s'appelle l'hypoténuse.
Retiens deux choses : l'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit, et c'est toujours le plus long des trois côtés. Les deux autres côtés, ceux qui partent de l'angle droit et le forment, sont les côtés de l'angle droit. Savoir les distinguer est essentiel, car dans la formule l'hypoténuse ne joue pas le même rôle que les deux autres.
Voici le cœur du chapitre. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de l'hypoténuse BC est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : BC au carré égale AB au carré plus AC au carré. Pour comprendre le sens, imagine un carré construit sur chaque côté du triangle.
Le théorème dit que l'aire du grand carré, celui posé sur l'hypoténuse, est exactement égale à la somme des aires des deux petits carrés posés sur les côtés de l'angle droit. La grande surface est remplie par les deux petites. C'est la relation la plus célèbre de toute la géométrie.
Le théorème sert surtout à calculer un côté qu'on ne connaît pas. Deux cas. Si le côté cherché est l'hypoténuse, on additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit, puis on prend la racine carrée du résultat.
Par exemple avec trois et quatre : trois au carré fait neuf, quatre au carré fait seize, la somme fait vingt-cinq, et la racine de vingt-cinq est cinq. L'hypoténuse mesure cinq. Si au contraire le côté cherché est un côté de l'angle droit, on ne fait plus une addition mais une soustraction : on retire son carré au carré de l'hypoténuse, puis racine carrée.
Le mot-clé qui te dit quelle opération faire, c'est : cherche-t-on l'hypoténuse, ou un côté de l'angle droit ?
Pythagore permet aussi de faire l'inverse : à partir des trois longueurs, décider si un triangle est rectangle ou non. On appelle ça la réciproque. La méthode est en trois temps.
D'abord, on repère le plus grand côté et on calcule son carré, tout seul. Ensuite, on additionne les carrés des deux autres côtés. Enfin, on compare les deux résultats.
S'ils sont égaux, alors le triangle est bien rectangle, et l'angle droit se trouve en face du plus grand côté. S'ils sont différents, le triangle n'est pas rectangle. Attention à ne pas confondre : pour calculer une longueur on connaît déjà l'angle droit, tandis que pour la réciproque c'est justement l'angle droit qu'on cherche à prouver.
12 des 30 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.