4ᵉ · Mathématiques · Nombres et calculs
Écrire aⁿ (on lit « a puissance n »), c'est multiplier le nombre a par lui-même n fois. Le nombre a s'appelle la base, et n l'exposant.
Exemples : 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Attention : aⁿ n'est pas a × n ! On multiplie a par lui-même, on n'ajoute rien.
Cas particuliers : a¹ = a et a⁰ = 1 (pour tout a non nul).
Une puissance de 10 avec un exposant positif s'écrit avec un 1 suivi d'autant de zéros que l'exposant :
Avec un exposant négatif, on obtient un nombre plus petit que 1 : c'est l'inverse de la puissance positive.
10⁻² = 0,01 (deux chiffres après la virgule) ; 10⁻⁶ = 0,000001.
Un nombre est en notation scientifique quand il s'écrit sous la forme :
Le nombre a (le coefficient) a un seul chiffre non nul avant la virgule. Exemples : 5 300 = 5,3 × 10³ ; 0,00042 = 4,2 × 10⁻⁴. Cette écriture sert à noter très simplement de très grands ou de très petits nombres.
Pour multiplier deux puissances d'une même base, on garde la base et on additionne les exposants :
Exemple : 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷. Pour diviser, on soustrait les exposants :
Exemple : 10⁵ ÷ 10² = 10⁵⁻² = 10³. Ces règles ne marchent que si la base est la même.
Avant la leçon, voyons pourquoi les puissances existent. Certains nombres sont gigantesques : la distance de la Terre au Soleil fait environ cent cinquante milliards de mètres. D'autres sont minuscules : un microbe mesure un millième de millimètre, et un atome est encore mille fois plus petit.
Écrire tous ces zéros à la main, c'est long et on se trompe. Les puissances de dix règlent le problème. Au lieu d'écrire un million, on écrit dix puissance six.
Au lieu d'écrire zéro virgule zéro zéro un, on écrit dix puissance moins trois. En informatique aussi : un ordinateur compte en puissances de deux, et un disque dur peut stocker plusieurs milliards d'octets. Les puissances, c'est le langage des astronomes, des biologistes et des informaticiens pour dompter l'infiniment grand et l'infiniment petit.
Écrire a puissance n, c'est une façon rapide de dire : je multiplie le nombre a par lui-même n fois. Le nombre du bas, a, s'appelle la base. Le petit nombre en haut, n, s'appelle l'exposant : il compte combien de fois on écrit la base dans la multiplication.
Par exemple, deux puissance cinq, c'est deux multiplié par deux, par deux, par deux, par deux, cinq facteurs en tout, ce qui fait trente-deux. Attention au piège le plus fréquent : deux puissance cinq, ce n'est pas deux fois cinq. On ne multiplie pas la base par l'exposant !
Il faut vraiment écrire la multiplication et compter les facteurs.
Les puissances de dix sont les plus faciles à reconnaître. Quand l'exposant est positif, dix puissance n s'écrit avec un un suivi d'autant de zéros que l'exposant. Dix puissance trois, c'est un suivi de trois zéros : mille.
Dix puissance six, c'est un million. Quand l'exposant est négatif, le nombre devient tout petit, plus petit que un : c'est l'inverse. Dix puissance moins trois vaut un divisé par mille, c'est-à-dire zéro virgule zéro zéro un.
Le truc : l'exposant négatif indique le nombre de chiffres après la virgule. Dix puissance moins deux, c'est zéro virgule zéro un.
Pour écrire proprement les nombres géants ou minuscules, on utilise la notation scientifique. Un nombre y est écrit sous la forme a fois dix puissance n, où le coefficient a est un nombre compris entre un et dix : il possède un seul chiffre non nul avant la virgule. Prenons cinq mille trois cents.
On déplace la virgule pour n'avoir qu'un chiffre devant : cinq virgule trois. On a déplacé la virgule de trois rangs vers la gauche, donc c'est fois dix puissance trois. Cinq mille trois cents égale cinq virgule trois fois dix puissance trois.
Pour un petit nombre comme zéro virgule zéro zéro quatre deux, on décale vers la droite et l'exposant devient négatif : quatre virgule deux fois dix puissance moins quatre.
Il existe une règle magique pour multiplier deux puissances qui ont la même base. On garde la base, et on additionne les exposants. Par exemple, deux puissance trois fois deux puissance quatre.
Pourquoi ça marche ? Deux puissance trois, c'est trois facteurs deux ; deux puissance quatre, c'est quatre facteurs deux. Bout à bout, cela fait sept facteurs deux, donc deux puissance sept.
On retrouve bien trois plus quatre égale sept. Attention : cette règle ne fonctionne que si la base est la même. Pour la division, c'est pareil mais on soustrait les exposants : dix puissance cinq divisé par dix puissance deux fait dix puissance trois, car cinq moins deux égale trois.
12 des 32 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.