4ᵉ · Mathématiques · Nombres et calculs
Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs, on procède en deux temps : on trouve d'abord le signe du résultat, puis on calcule avec les nombres sans leur signe (leurs distances à 0).
La règle des signes est la même pour × et pour ÷ :
À retenir : deux signes identiques donnent +, deux signes contraires donnent −. Exemples : (−4) × (−3) = +12 ; (−4) × (+3) = −12 ; (+20) ÷ (−5) = −4 ; (−20) ÷ (−4) = +5.
Quand il y a plusieurs facteurs, on compte le nombre de facteurs négatifs :
• un nombre pair de facteurs négatifs → le résultat est positif ;
• un nombre impair de facteurs négatifs → le résultat est négatif.
Exemple : (−2) × (−3) × (−1) a trois facteurs négatifs (impair) → résultat négatif : −6. Le zéro est à part : dès qu'un facteur vaut 0, le produit vaut 0.
Dans un calcul qui mélange plusieurs opérations, on respecte les priorités :
1. d'abord les parenthèses ;
2. ensuite les × et ÷ (de gauche à droite) ;
3. enfin les + et − (de gauche à droite).
À chaque multiplication ou division, on applique la règle des signes. Exemple : (−2) × 3 + (−4) × (−5) = −6 + 20 = +14. On calcule les deux produits d'abord, puis on additionne les relatifs obtenus.
Avant la leçon, voyons à quoi sert de multiplier des nombres négatifs. En finances, imagine un compte qui perd 3 euros chaque jour : au bout de 5 jours, c'est 5 fois moins 3, soit moins 15 euros. La multiplication résume une perte qui se répète.
En physique, si un plongeur descend de 2 mètres chaque seconde pendant 4 secondes, sa profondeur est 4 fois moins 2, soit moins 8 mètres. Et pour les températures : si un congélateur refroidit de 6 degrés en 3 heures, cela fait moins 18 degrés au total. La division sert à l'inverse : si la température a chuté de moins 12 degrés en 4 heures, la baisse par heure est moins 12 divisé par 4, soit moins 3 degrés par heure.
Multiplier et diviser des relatifs, c'est calculer des évolutions qui montent ou qui descendent.
Pour multiplier deux nombres relatifs, on travaille en deux étapes. D'abord on cherche le signe du résultat, ensuite on multiplie les nombres sans leur signe. Voici la règle.
Si les deux nombres ont le même signe, le résultat est positif : plus par plus donne plus, et moins par moins donne aussi plus. Si les deux nombres ont des signes contraires, le résultat est négatif : plus par moins donne moins, et moins par plus donne moins. Par exemple, moins quatre multiplié par moins trois : mêmes signes, donc le résultat est positif ; quatre fois trois font douze ; le résultat est plus douze.
La phrase à retenir : signes pareils, plus ; signes différents, moins.
Bonne nouvelle : pour diviser deux nombres relatifs, on applique exactement la même règle des signes que pour la multiplication. Deux signes pareils donnent un quotient positif, deux signes contraires donnent un quotient négatif. On trouve d'abord le signe, puis on divise les nombres sans leur signe.
Par exemple, moins vingt divisé par plus cinq : signes différents, le quotient est négatif ; vingt divisé par cinq font quatre ; le résultat est moins quatre. Autre exemple : moins vingt divisé par moins quatre : mêmes signes, quotient positif ; vingt divisé par quatre font cinq ; le résultat est plus cinq. Multiplier ou diviser, la règle des signes ne change pas.
Quand un produit contient plusieurs facteurs, inutile de faire les signes deux par deux : il suffit de compter combien de facteurs sont négatifs. Si le nombre de facteurs négatifs est pair, deux, quatre, six, le résultat est positif. Si ce nombre est impair, un, trois, cinq, le résultat est négatif.
Ensuite on multiplie toutes les distances à zéro. Par exemple, moins deux multiplié par moins trois multiplié par moins un : il y a trois facteurs négatifs, c'est impair, donc le résultat est négatif ; deux fois trois fois un font six ; le résultat est moins six. Attention au zéro : dès qu'un seul facteur vaut zéro, tout le produit vaut zéro.
Dans un calcul qui mélange plusieurs opérations avec des relatifs, on suit l'ordre des priorités. D'abord les parenthèses, ensuite les multiplications et les divisions, et seulement à la fin les additions et les soustractions. À chaque multiplication ou division, on applique la règle des signes.
Prenons un exemple : moins deux multiplié par trois, plus, moins quatre multiplié par moins cinq. Je calcule d'abord les deux produits. Moins deux fois trois : signes contraires, ça fait moins six.
Moins quatre fois moins cinq : mêmes signes, ça fait plus vingt. Il reste moins six plus vingt, qui font plus quatorze. On ne passe à l'addition qu'une fois toutes les multiplications terminées.
12 des 32 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.