4ᵉ · Mathématiques · Organisation et gestion de données
Une série de données est un ensemble de chiffres qu'on a récoltés (les notes d'une classe, les tailles des élèves, les buts marqués…). Le nombre total de données s'appelle l'effectif total.
L'effectif d'une valeur, c'est le nombre de fois où elle apparaît. La fréquence d'une valeur, c'est la part qu'elle représente : on divise son effectif par l'effectif total.
Une fréquence est un nombre entre 0 et 1 ; multipliée par 100, elle donne un pourcentage.
La moyenne d'une série, c'est la somme de toutes les données divisée par l'effectif total.
Exemple : pour les notes 12, 8, 10, la moyenne est (12 + 8 + 10) ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10.
Quand une valeur apparaît plusieurs fois, on ne la réécrit pas à chaque fois : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne le tout, puis on divise par l'effectif total.
Exemple : trois 5 et deux 10 → (5×3 + 10×2) ÷ 5 = (15 + 20) ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7.
La médiane est la valeur qui partage la série en deux moitiés : autant de données en dessous qu'au-dessus. On range d'abord les données dans l'ordre croissant.
• Si l'effectif est impair, la médiane est la valeur du milieu. Pour 7 données rangées, c'est la 4ᵉ.
• Si l'effectif est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
L'étendue mesure l'écart entre le plus grand et le plus petit : c'est la valeur maximale moins la valeur minimale.
La moyenne résume le « niveau général », mais elle est sensible aux valeurs extrêmes : un seul très grand nombre la tire vers le haut. La médiane, elle, n'est pas déformée par les extrêmes : c'est un meilleur repère quand quelques valeurs sont très éloignées des autres.
Un diagramme en bâtons représente les effectifs : plus le bâton est haut, plus l'effectif est grand. On lit la hauteur de chaque bâton pour retrouver l'effectif d'une valeur.
Avant la théorie, voyons à quoi servent la moyenne et la médiane. Ton bulletin résume tout un trimestre par une moyenne : un seul nombre pour dix contrôles. Dans le sport, on compare les moyennes de buts par match ou les temps moyens au cent mètres.
Mais attention, la moyenne peut mentir. Prends les salaires d'une entreprise : si le patron gagne énormément, la moyenne des salaires devient énorme, alors que la plupart des employés gagnent bien moins. C'est là que la médiane entre en jeu : c'est le salaire du milieu, celui qui partage l'entreprise en deux moitiés.
La médiane n'est pas déformée par le salaire du patron. Regarde l'animation : une série de données, sa moyenne, et sa médiane. Deux façons de résumer, deux repères qui ne disent pas toujours la même chose.
La moyenne résume une série en un seul nombre. On additionne toutes les données, puis on divise par leur nombre. Pour les notes 12, 8 et 10, on fait 12 plus 8 plus 10, égale 30, divisé par 3, égale 10.
La moyenne est 10. C'est comme si tout le monde avait eu la même note, comme si on avait partagé équitablement. La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.
Si tu trouves une moyenne en dehors de cet intervalle, c'est qu'il y a une erreur de calcul.
Quand une même valeur revient souvent, on ne va pas la réécrire à chaque fois. On utilise la moyenne pondérée. Imagine une classe : trois élèves ont eu 5, et deux élèves ont eu 10.
Plutôt que d'écrire 5 plus 5 plus 5 plus 10 plus 10, on multiplie chaque note par son effectif. Cinq fois trois égale quinze, dix fois deux égale vingt. On additionne : quinze plus vingt égale trente-cinq.
Puis on divise par l'effectif total, cinq élèves. Trente-cinq divisé par cinq égale sept. La moyenne pondérée est sept.
Chaque valeur pèse selon le nombre de fois où elle apparaît.
La médiane partage la série en deux moitiés égales : autant de données en dessous qu'au-dessus. D'abord, une étape à ne jamais oublier : on range les données dans l'ordre croissant. Ensuite, si le nombre de données est impair, la médiane est tout simplement la valeur du milieu.
Par exemple pour cinq données rangées, c'est la troisième. Pour sept données, c'est la quatrième. Attention, la médiane n'est pas forcément égale à la moyenne.
Elles décrivent la série de deux façons différentes : la moyenne fait un partage équitable, la médiane trouve le point central.
L'étendue mesure la dispersion : c'est la plus grande valeur moins la plus petite. Pour les notes 8, 10 et 12, l'étendue vaut 12 moins 8, égale 4. Une petite étendue signifie des valeurs serrées, une grande étendue des valeurs éparpillées.
Enfin, comparons deux séries. La moyenne donne le niveau général, mais elle est sensible aux valeurs extrêmes : un seul nombre énorme la tire vers le haut. La médiane, elle, résiste aux extrêmes.
Pour comparer deux classes, deux joueurs ou deux entreprises, on regarde souvent la moyenne, la médiane et l'étendue ensemble : chacune raconte une partie de l'histoire.
12 des 31 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.