5ᵉ · Mathématiques · Nombres et calculs
Une expression littérale, c'est un calcul où l'on remplace un ou plusieurs nombres par des lettres. La lettre représente un nombre qu'on ne connaît pas encore, ou qui peut changer. Par exemple, le périmètre d'un carré de côté c s'écrit 4 × c : c'est vrai quelle que soit la longueur du côté.
Pour alléger l'écriture, on a le droit de supprimer le signe × devant une lettre ou une parenthèse :
On écrit toujours le nombre avant la lettre : on écrit 3a, pas a3. Le signe × ne peut jamais disparaître entre deux nombres : 3 × 4 reste 3 × 4.
Substituer, c'est remplacer la lettre par un nombre pour calculer. Pour l'expression 3x + 5, si x = 2 : on remet le signe × qui était caché, ce qui donne 3 × 2 + 5 = 6 + 5 = 11. Attention aux priorités : on fait la multiplication avant l'addition.
Réduire, c'est regrouper les termes qui se ressemblent. On additionne entre eux les termes en x, et à part les nombres seuls :
On ne peut pas mélanger : 5x + 3 ne se simplifie pas, car un « x » et un nombre ne sont pas de même nature.
Développer, c'est transformer un produit en somme en distribuant le facteur devant la parenthèse :
Exemple : 3(x + 4) = 3×x + 3×4 = 3x + 12. Chaque terme de la parenthèse est bien multiplié par le facteur k.
Pour vérifier si une égalité est vraie pour une valeur, on substitue la valeur dans le membre de gauche, puis dans le membre de droite, et on compare. Si les deux résultats sont égaux, l'égalité est vraie pour cette valeur ; sinon, elle est fausse.
Avant la leçon, voyons à quoi sert le calcul littéral. Imagine un stand de fête : chaque billet coûte 3 euros. Pour deux billets, tu paies 6 euros ; pour dix billets, 30 euros.
Plutôt que de refaire le calcul à chaque fois, on écrit une formule : le prix, c'est 3 fois le nombre de billets, autrement dit 3 × n. Cette lettre n range tous les cas dans une seule écriture. C'est exactement ce que font les formules de géométrie, comme le périmètre ou l'aire, et c'est aussi ce que fait un tableur : dans une case, tu écris une formule avec des lettres, et l'ordinateur calcule pour n'importe quelle valeur.
Le calcul littéral, c'est le langage qui permet d'écrire une règle une seule fois pour tous les nombres à la fois.
Une expression littérale, c'est un calcul où des lettres remplacent des nombres. La grande règle d'écriture : entre un nombre et une lettre, on efface le signe multiplié. Ainsi 3 fois a s'écrit simplement 3a, collés l'un à l'autre.
De même a fois b s'écrit ab. On place toujours le nombre devant la lettre : on écrit 3a, jamais a3. Attention, entre deux nombres on ne peut pas effacer le signe : 3 fois 4 doit garder son signe multiplié, sinon on lirait trente-quatre.
Cette écriture raccourcie rend les formules plus légères et plus rapides à lire.
Substituer, c'est remplacer une lettre par un nombre pour obtenir un résultat. Vois une expression comme un petit programme de calcul : prends un nombre, multiplie-le par trois, puis ajoute cinq. En écriture littérale, cela donne 3x plus 5.
Maintenant, choisis x égal à deux. On remet d'abord le signe multiplié qui était caché : trois fois deux, plus cinq. On respecte les priorités, donc on fait la multiplication d'abord : trois fois deux font six, puis six plus cinq font onze.
Le grand piège, c'est d'oublier la priorité et de faire l'addition avant : on obtiendrait un résultat faux.
Réduire, c'est ranger et regrouper. Dans une expression, on rassemble d'un côté tous les termes qui contiennent la même lettre, et de l'autre les nombres seuls. Prenons deux x plus trois x : ce sont deux paquets de x et trois paquets de x, ce qui fait cinq paquets de x, donc cinq x.
Maintenant quatre x plus sept plus deux x plus un : on ajoute les x entre eux, quatre plus deux égale six x, et on ajoute les nombres entre eux, sept plus un égale huit. Le résultat réduit est six x plus huit. Retiens bien : on ne mélange jamais les x avec les nombres seuls, car ils ne sont pas de même nature.
Développer, c'est ouvrir une parenthèse en distribuant le facteur qui est devant. La règle : k multiplié par la parenthèse a plus b donne k fois a, plus k fois b. Le facteur du dehors va rendre visite à chaque terme du dedans.
Par exemple, trois fois la parenthèse x plus quatre : le trois multiplie le x, ce qui donne trois x, puis le trois multiplie le quatre, ce qui donne douze. Résultat : trois x plus douze. Le piège classique, c'est d'oublier de multiplier le deuxième terme : il faut bien distribuer le facteur sur tous les termes de la parenthèse, sans en oublier un seul.
12 des 32 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.