5ᵉ · Mathématiques · Nombres et calculs
Un nombre relatif, c'est un nombre qui possède un signe : un signe + (nombre positif) ou un signe − (nombre négatif). Le nombre 0 n'est ni positif ni négatif. Les nombres que tu connais déjà (5, 12, 100…) sont en réalité des nombres positifs : +5, +12, +100.
Les nombres négatifs servent partout : une température de −7 °C (7 degrés au-dessous de zéro), une altitude de −20 m (20 mètres sous le niveau de la mer), un compte en banque à −30 € (on doit 30 €).
Sur une droite graduée, on choisit une origine (le 0). Les nombres positifs se placent à droite du 0, les nombres négatifs à gauche. Chaque nombre relatif a une place unique : c'est son abscisse.
Avec deux droites graduées (une horizontale, une verticale) qui se croisent en O, on repère un point par deux nombres : son abscisse (horizontale) et son ordonnée (verticale). On écrit par exemple A(−2 ; 3).
Sur la droite graduée, le plus grand est toujours celui le plus à droite.
• Un positif est toujours plus grand qu'un négatif : +2 > −5.
• Entre deux négatifs, c'est l'inverse des nombres « sans signe » : −2 > −7 (car −2 est plus proche de 0, donc plus à droite).
L'opposé d'un nombre relatif, c'est le même nombre avec le signe contraire. L'opposé de +5 est −5 ; l'opposé de −8 est +8. Un nombre et son opposé sont à la même distance de 0.
• Mêmes signes : on additionne les distances à 0 et on garde le signe commun. (−4) + (−3) = −7.
• Signes différents : on soustrait la plus petite distance de la plus grande, et on garde le signe du plus « fort ». (−7) + (+3) = −4 ; (+2) + (−9) = −7.
Règle : soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Exemples : (+3) − (+8) = (+3) + (−8) = −5 ; (−2) − (−6) = (−2) + (+6) = +4.
Avant la leçon, voyons à quoi servent les nombres négatifs. En hiver, le thermomètre affiche parfois moins cinq degrés : c'est cinq degrés au-dessous de zéro. Quand tu plonges dans la mer, tu descends à moins vingt mètres, c'est-à-dire vingt mètres sous la surface.
Et sur un relevé de compte en banque, si tu vois moins trente euros, cela veut dire que tu dois trente euros à la banque. Les nombres positifs mesurent ce qui est au-dessus, ce qu'on possède, ce qui monte. Les nombres négatifs mesurent ce qui est en dessous, ce qu'on doit, ce qui descend.
Grâce au signe plus ou moins, un seul nombre raconte à la fois une valeur et une direction.
Pour ranger les nombres relatifs, on utilise une droite graduée. On place d'abord une origine, le zéro. À droite du zéro, on écrit les nombres positifs : plus un, plus deux, plus trois.
À gauche du zéro, on écrit les nombres négatifs : moins un, moins deux, moins trois. Chaque nombre a une place bien à lui. Ce qu'il faut retenir, c'est la règle de lecture : plus on va vers la droite, plus les nombres sont grands ; plus on va vers la gauche, plus ils sont petits.
Ainsi moins cinq est à gauche de moins deux : moins cinq est donc plus petit que moins deux.
Comparer deux nombres relatifs est facile si on pense à la droite graduée : le plus grand est toujours celui le plus à droite. Un nombre positif est donc toujours plus grand qu'un négatif. Mais attention au piège avec deux nombres négatifs.
On pourrait croire que moins sept est plus grand que moins deux, parce que sept est plus grand que deux. C'est faux ! Sur la droite, moins sept est loin à gauche, moins deux est plus proche du zéro.
Le plus proche de zéro est le plus à droite, donc le plus grand. On écrit moins deux est plus grand que moins sept. Avec les négatifs, tout est à l'envers.
Pour additionner deux nombres relatifs, imagine un déplacement sur la droite graduée. Un nombre positif te fait avancer vers la droite, un nombre négatif te fait reculer vers la gauche. Deux règles suffisent.
Si les deux nombres ont le même signe, tu additionnes leurs distances à zéro et tu gardes ce signe commun : moins quatre plus moins trois égale moins sept. Si les signes sont différents, tu soustrais la plus petite distance de la plus grande, et tu gardes le signe du plus fort. Par exemple moins sept plus trois : sept l'emporte sur trois, le résultat est négatif, et sept moins trois font quatre.
Donc moins quatre.
La soustraction des relatifs a un secret très simple : soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. L'opposé d'un nombre, c'est le même nombre avec le signe contraire. L'opposé de plus huit est moins huit, l'opposé de moins six est plus six.
Alors, pour calculer moins deux moins moins six, je transforme : moins deux plus l'opposé de moins six, c'est-à-dire moins deux plus six. Les signes sont différents, six l'emporte, le résultat est positif, six moins deux font quatre. Donc plus quatre.
Retiens la phrase magique : moins moins, ça fait plus. Une fois la soustraction transformée en addition, tu appliques les règles d'addition que tu connais déjà.
12 des 31 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.