5ᵉ · Mathématiques · Organisation et gestion de données
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Dans un tableau, on vérifie que le rapport valeur du bas ÷ valeur du haut donne toujours le même résultat. Attention : ajouter le même nombre à chaque fois, ce n'est PAS de la proportionnalité.
C'est le nombre par lequel on multiplie pour passer de la 1re ligne à la 2e. On le trouve avec un seul couple connu :
Exemple : si 4 kg coûtent 12 €, le coefficient vaut 12 ÷ 4 = 3 (c'est le prix d'un kilo).
Quand une valeur manque dans le tableau, on la calcule. On multiplie les deux valeurs situées en diagonale du « ? », puis on divise par la troisième.
Exemple : 3 croissants coûtent 6 €, combien coûtent 5 croissants ? On fait 5 × 6 ÷ 3 = 10 €.
Prendre p % d'une quantité N, c'est multiplier par p puis diviser par 100.
Exemple : 30 % de 80 = 80 × 30 ÷ 100 = 24.
Pour augmenter une quantité de p %, on ajoute le pourcentage au total. Pour une réduction (une baisse) de p %, on retranche le pourcentage.
Exemple : un article à 50 € soldé à −20 % coûte 50 − 50 × 20 ÷ 100 = 50 − 10 = 40 €.
Sur une carte ou un plan, l'échelle est le coefficient de proportionnalité entre les distances du dessin et les distances réelles. Une échelle 1/1000 signifie que 1 cm sur la carte représente 1000 cm en vrai, soit 10 m.
Avant la théorie, voyons à quoi servent les pourcentages et la proportionnalité. Aux soldes : une étiquette affiche « −30 % », et tu veux savoir combien tu paieras vraiment à la caisse. Les impôts : la TVA, c'est un pourcentage ajouté au prix ; l'impôt sur le revenu, c'est un pourcentage prélevé.
Les cartes : quelques centimètres sur une carte représentent des kilomètres réels, grâce à l'échelle. La cuisine : une recette pour quatre personnes, tu la refais pour six en gardant les mêmes proportions. À chaque fois, c'est la même idée : on multiplie par un coefficient, et pour les pourcentages, on multiplie par le pourcentage puis on divise par 100.
Regarde l'étiquette de prix : on part du prix affiché, on calcule la réduction, et on la soustrait pour obtenir le prix payé.
Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Pour vérifier, on regarde plusieurs couples : si 2 stylos coûtent 3 €, 4 stylos doivent coûter 6 €, et 6 stylos 9 €. À chaque fois, le prix est le nombre de stylos multiplié par un et demi : c'est bien proportionnel.
Ce multiplicateur, c'est le coefficient de proportionnalité. Pour le trouver, il suffit d'un seul couple connu : on divise la valeur du bas par la valeur du haut. Attention : ajouter toujours le même nombre, ce n'est pas de la proportionnalité, c'est multiplier qu'il faut.
Parfois il manque une valeur dans le tableau : c'est la quatrième proportionnelle. Pour la trouver, on utilise la règle de trois. Imagine : 3 croissants coûtent 6 €, combien coûtent 5 croissants ?
On multiplie les deux valeurs placées en diagonale du point d'interrogation, soit 5 fois 6, ce qui fait 30, puis on divise par la troisième valeur, 3, ce qui donne 10 €. La recette tient en une phrase : on multiplie les deux valeurs en diagonale, puis on divise par la valeur restante. C'est l'outil le plus utile de tout le chapitre, et il marche dans tous les problèmes de proportionnalité.
Un pourcentage, c'est de la proportionnalité déguisée. Prendre p pour cent d'une quantité, c'est prendre p parts sur cent. Pour calculer, on multiplie la quantité par le pourcentage, puis on divise par cent.
Par exemple, 30 pour cent de 80 : on fait 80 fois 30, ce qui fait 2400, puis on divise par 100, ce qui donne 24. Le piège classique, c'est d'oublier de diviser par cent : sans cette division, le résultat serait cent fois trop grand. Retiens la formule : p pour cent de N égale N fois p divisé par cent.
On utilise souvent les pourcentages pour augmenter ou réduire une quantité. Pour une réduction, on calcule d'abord le montant de la baisse, puis on le soustrait au prix de départ. Un article à 50 euros soldé de vingt pour cent : la réduction vaut 50 fois 20 divisé par 100, soit 10 euros ; le prix payé est donc 50 moins 10, soit 40 euros.
Pour une augmentation, comme la TVA, on ajoute au lieu de soustraire. Dernier usage, l'échelle d'une carte : c'est le coefficient qui relie les distances du dessin aux distances réelles. Une échelle un sur mille veut dire que 1 centimètre sur la carte représente 1000 centimètres en vrai.
12 des 31 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.