5ᵉ · Mathématiques · Espace et géométrie
Faire le symétrique d'une figure par rapport à un point, c'est lui faire faire un demi-tour (une rotation d'un demi-tour) autour de ce point. Ce point fixe s'appelle le centre de symétrie, souvent noté O.
Le point A' est le symétrique du point A par rapport au centre O lorsque O est le milieu du segment [AA']. Autrement dit, A, O et A' sont alignés, et O est pile au milieu : OA = OA'.
Le symétrique du centre O par rapport à O est O lui-même.
Pour construire l'image d'une figure, on construit le symétrique de chacun de ses points par rapport à O, puis on relie les points images dans le même ordre. La figure image a fait un demi-tour : elle est « à l'envers ».
Comme un demi-tour ne déforme rien, la symétrie centrale conserve :
• les longueurs ;
• les angles ;
• les aires et le périmètre ;
• l'alignement et le milieu.
Propriété importante : la symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle (l'image d'une droite (d) est une droite parallèle à (d)).
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Ses propriétés :
• les côtés opposés ont la même longueur ;
• les angles opposés ont la même mesure ;
• les diagonales se coupent en leur milieu ;
• le point d'intersection des diagonales est son centre de symétrie.
Un parallélogramme possède donc un centre de symétrie, mais (dans le cas général) aucun axe de symétrie.
• le rectangle : un parallélogramme qui a 4 angles droits ; ses diagonales ont la même longueur ;
• le losange : un parallélogramme qui a 4 côtés de même longueur ; ses diagonales sont perpendiculaires ;
• le carré : à la fois rectangle ET losange (4 angles droits ET 4 côtés égaux).
Avant de construire, regardons où se cache la symétrie centrale. Elle est partout où quelque chose fait un demi-tour ! Regarde un jeu de cartes : le roi de cœur est identique quand tu le retournes tête-bêche, c'est une symétrie centrale.
Les pavages et les carrelages qui recouvrent un sol sans trou ni chevauchement utilisent souvent ce demi-tour pour se répéter. Les designers de logos s'en servent pour créer des motifs équilibrés qui tournent autour d'un centre. Et en mécanique, le mécanisme du pantographe ou d'une pédale de vélo repose sur des parallélogrammes : quand une barre bouge, la barre opposée reste parallèle et suit le mouvement.
Comprendre la symétrie centrale et le parallélogramme, c'est comprendre comment tant de motifs et de machines fonctionnent.
Commençons par un seul point. Pour trouver le symétrique d'un point A par rapport à un centre O, imagine que A fait un demi-tour autour de O. Le point image, qu'on appelle A prime, se retrouve de l'autre côté de O, aligné avec A et O, et à la même distance de O.
Autrement dit, O est le milieu du segment qui relie A et A prime. Pour le construire à la règle, tu traces la demi-droite qui part de A et passe par O, puis tu reportes la distance de A à O de l'autre côté : tu obtiens A prime.
Pour une figure entière, on répète l'opération sur chacun de ses points importants, ses sommets. On construit le symétrique de chaque sommet par rapport au centre O, puis on relie les points images dans le même ordre que sur la figure de départ. Le résultat : la figure a fait un demi-tour complet, elle est comme retournée à l'envers.
Attention, ce n'est pas un miroir comme la symétrie axiale : ici la figure ne se retourne pas latéralement, elle pivote d'un demi-tour autour du centre.
Un demi-tour ne déforme jamais rien. La symétrie centrale conserve donc tout : les longueurs restent identiques, les angles gardent la même mesure, et la figure image a exactement la même aire et le même périmètre. L'alignement et les milieux sont aussi conservés.
Il y a en plus une propriété très utile : la symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle. Si tu prends une droite et que tu en construis l'image par rapport à un centre, tu obtiens une droite parallèle à la première. C'est cette propriété qui explique pourquoi le parallélogramme est si lié à la symétrie centrale.
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Il possède de belles propriétés : ses côtés opposés ont la même longueur, ses angles opposés sont égaux, et ses deux diagonales se coupent en leur milieu. Ce point d'intersection des diagonales est même son centre de symétrie !
Certains parallélogrammes sont particuliers. Le rectangle est un parallélogramme à quatre angles droits, ses diagonales sont de même longueur. Le losange a quatre côtés égaux, ses diagonales sont perpendiculaires.
Et le carré cumule tout : c'est à la fois un rectangle et un losange.
12 des 31 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.