5ᵉ · Mathématiques · Espace et géométrie
Un angle se nomme avec trois lettres, celle du sommet au milieu : l'angle ABC (ou l'angle B) a son sommet en B. On le mesure en degrés (°) avec un rapporteur.
Quand deux droites se croisent, elles forment quatre angles. Deux angles opposés par le sommet sont ceux qui se font face de part et d'autre du point d'intersection. Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Une sécante est une droite qui coupe deux autres droites. Quand ces deux droites sont parallèles :
• Deux angles alternes-internes (de part et d'autre de la sécante, entre les deux parallèles) ont la même mesure.
• Deux angles correspondants (du même côté de la sécante, en position identique) ont la même mesure.
Dans TOUS les triangles, la somme des trois angles fait 180°. Si on connaît deux angles, on trouve le troisième en calculant 180 − (les deux autres).
Un triangle n'existe que si le plus grand côté est plus court que la somme des deux autres. Sinon, les deux petits côtés ne se rejoignent pas et le triangle est « impossible ».
• Connaissant les trois côtés : on trace un côté à la règle, puis deux arcs de cercle au compas (rayons = les deux autres côtés) qui se coupent au troisième sommet.
• Connaissant un côté et deux angles : on trace le côté, puis les deux angles à ses extrémités au rapporteur.
• Isocèle : deux côtés égaux, donc deux angles à la base égaux.
• Équilatéral : trois côtés égaux, donc trois angles de 60° (180 ÷ 3).
• Rectangle : un angle droit (90°) ; les deux autres angles font ensemble 90°.
Avant la théorie, regardons autour de nous. Le triangle est la forme la plus solide qui existe : c'est pour ça qu'on en met partout dans les charpentes, les ponts et les grues. Un charpentier qui pose une ferme de toit calcule les angles pour que tout tienne.
En navigation, les marins et les GPS se repèrent par triangulation : trois points, quelques angles, et on connaît sa position exacte en mer. Un architecte, lui, vérifie sans cesse ses angles pour qu'un mur soit bien droit et qu'un toit ait la bonne pente. Savoir que les trois angles d'un triangle font toujours 180 degrés, savoir reconnaître deux angles égaux, c'est le b.a.-ba du bâtisseur et du navigateur.
Un angle, c'est l'ouverture entre deux demi-droites qui partent d'un même point, le sommet. Pour le nommer sans se tromper, on utilise trois lettres, et surtout on place la lettre du sommet au milieu : l'angle ABC a son sommet en B. On mesure son ouverture en degrés avec le rapporteur : on pose son centre sur le sommet, sa ligne de base sur une demi-droite, et on lit le nombre de degrés.
En dessous de 90 degrés l'angle est aigu, à 90 degrés il est droit, et entre 90 et 180 il est obtus.
Quand deux droites se croisent, elles découpent le plan en quatre angles. Deux d'entre eux se font face, de part et d'autre du point de croisement, comme les deux ailes d'un nœud papillon : on dit qu'ils sont opposés par le sommet. La règle est simple et très pratique : deux angles opposés par le sommet ont exactement la même mesure.
Donc si l'un mesure soixante-dix degrés, celui qui lui fait face mesure aussi soixante-dix degrés, sans même prendre le rapporteur.
Prenons deux droites parallèles et une troisième droite qui les coupe toutes les deux : cette troisième droite s'appelle une sécante. Elle crée toute une famille d'angles. Deux angles situés de part et d'autre de la sécante, coincés entre les deux parallèles, sont dits alternes-internes : ils sont égaux.
Deux angles placés du même côté de la sécante, dans la même position par rapport à chaque parallèle, sont dits correspondants : eux aussi sont égaux. C'est la clé pour retrouver des mesures d'angles sur une figure sans tout mesurer.
Voici la propriété la plus importante du chapitre : dans n'importe quel triangle, la somme des trois angles vaut toujours cent quatre-vingts degrés. Grand ou petit, pointu ou aplati, peu importe : ses trois angles font ensemble un angle plat. Une astuce pour le voir : si on découpe les trois coins d'un triangle en papier et qu'on les met côte à côte, ils forment une ligne droite parfaite.
Conséquence directe : quand on connaît deux angles, on trouve le troisième en faisant cent quatre-vingts moins la somme des deux autres.
12 des 31 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.