6ᵉ · Mathématiques · Espace et géométrie
Faire le symétrique d'une figure par rapport à une droite, c'est comme la voir dans un miroir. La droite s'appelle l'axe de symétrie. La figure de départ et son image sont de part et d'autre de l'axe, à la même distance.
Le point A' est le symétrique du point A par rapport à la droite (d) lorsque :
• (d) est perpendiculaire au segment [AA'] ;
• (d) coupe [AA'] en son milieu.
Autrement dit, (d) est la médiatrice du segment [AA'].
La médiatrice d'un segment [AB] est la droite qui passe par le milieu de [AB] et qui lui est perpendiculaire. Tous ses points sont à égale distance de A et de B.
La symétrie axiale ne déforme rien. Elle conserve :
• les longueurs (un segment garde la même mesure) ;
• les angles (un angle garde la même mesure) ;
• les aires et le périmètre (la figure image a exactement la même taille) ;
• l'alignement et le milieu.
Seul le « sens » change : la figure est retournée, comme dans un miroir.
Une figure peut avoir un ou plusieurs axes de symétrie (une droite qui la partage en deux moitiés se superposant par pliage) :
• le carré : 4 axes ;
• le rectangle : 2 axes ;
• le losange : 2 axes ;
• le triangle équilatéral : 3 axes ;
• le triangle isocèle : 1 axe ;
• le cercle : une infinité d'axes.
À la règle et à l'équerre : pour chaque point de la figure, on trace la perpendiculaire à l'axe, puis on reporte la même distance de l'autre côté. On relie ensuite les points images dans le même ordre.
Avant les constructions, regardons autour de nous. La symétrie est partout ! Les ailes d'un papillon sont l'exact reflet l'une de l'autre : un axe imaginaire passe au milieu de son corps.
Notre propre visage est presque symétrique. Les artistes et les architectes adorent la symétrie : les façades de châteaux, les rosaces des cathédrales, les motifs des tapis. Et surtout, dès que tu te regardes dans un miroir, tu vois ton symétrique : ta main droite devient la main gauche de ton reflet.
Comprendre la symétrie axiale, c'est comprendre comment fonctionne un miroir et pourquoi tant de choses belles sont équilibrées.
Commençons par le plus petit élément : un point. Pour trouver le symétrique d'un point A par rapport à une droite, imagine que la droite est un miroir. Le point image, qu'on appelle A prime, se trouve juste en face, de l'autre côté, à la même distance.
La droite passe pile au milieu entre A et A prime, et elle est perpendiculaire au segment qui les relie. Si tu pliais la feuille le long de l'axe, le point A tomberait exactement sur A prime.
L'axe de symétrie entre un point et son image a un nom bien précis : c'est la médiatrice du segment. La médiatrice d'un segment A B, c'est la droite qui passe par le milieu du segment et qui lui est perpendiculaire. Elle forme un angle droit avec le segment, et le coupe en deux parts égales.
Sa propriété magique : tous les points posés sur la médiatrice sont à la même distance de A et de B. C'est pour cela que A et son symétrique A prime sont toujours à égale distance de l'axe.
Voici le secret le plus important : la symétrie axiale ne déforme jamais rien. C'est un miroir, pas une loupe. Les longueurs restent identiques : un segment de trois centimètres reste un segment de trois centimètres.
Les angles gardent la même mesure. Et la figure image a exactement la même aire et le même périmètre que la figure de départ. La seule chose qui change, c'est le sens : la figure est retournée, comme ta main droite qui devient la main gauche dans le miroir.
Tout le reste est conservé à l'identique.
Certaines figures ont elles-mêmes des axes de symétrie : ce sont des droites qui les partagent en deux moitiés se superposant parfaitement par pliage. Un carré en possède quatre : deux qui passent par le milieu des côtés, deux le long des diagonales. Le rectangle et le losange en ont chacun deux.
Le triangle équilatéral, tout régulier, en a trois. Le triangle isocèle n'en a qu'un seul, sa hauteur principale. Et le cercle, parfait, en a une infinité : toute droite passant par son centre est un axe de symétrie.
12 des 31 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.